HPHP48-E-@,* Cintique du Solide *Masse d'1 solide (s) P(s) dm(p)>0 **Principe de conservat des masses la masse dm(p) du pt P(s) est indpendante du rfrentiel utilis pr observer les mvmts du solide (s) ainsi q de la date t laquelle on travail. **Principe d'additivit le masse m du solide (s) est dfinie / m=4s1dm(p) -si (s) est 1 arc de courbe (p):masse linique dm(p)=(p)ds 3P1 m=| (p)ds 3P2 si (p)=cte= 3P1 1 m=|ds =L(P411P421) 4P2 -si (s) est 1 port de surface (p):masse surfacique x(u,v) P(s) OP=y(u,v) (u,v)D z(u,v) OP OP dm(p)=(p)ɂɠdudv u v OP OP m=||(p)ɂɠdudv 4D1 u v si (p)=cte= OP OP m=|| ɂɠdudv=A(s) 4D1 u v -si (s) est 1 vol (p)=masse volumiq dm(p)=(p)=dxdydz (x,y,z)V et m=4v1(p)dxdydz si (p)=cte= m=4v1dxdydz=V(s) *Centre d'inertie Soit (E)=(A,E411,E421,E431) 1 repre li au solide (s). B(E) 4s1BPdm(p)=4s1(BG+GP)dm(p) =BG4s1dm(p)+4s1GPdm(p) =mBG+4s1GPdm(p) **Df:on appelle centre d'inertie du solide (s), l'unique pt G tq 4s1GPdm(p)=0 m0 1 BG=|BPdm(p) m4s *Oprateur d'Inertie 33133 331 indpendant de (s) I(A,S)()=|AP(قAP)dm(p) 4s -I(A,S) est linaire I(A,S)(+)=|AP[(+)AP)dm(p) 4s =|AP(قAP)dm(p)+|AP(ڂAP)dm(p) 4s =I(A,S)()+I(a,S)() I(A,S) est symtrique .I(A,S)()=.I(A,S)() AP(قAP)=AP-(AP.)AP .I(A,S)()=4s1.{AP-(AP.).AP}dm(p) =4s1{AP.-(AP.).AP}dm(p) =4s1{AP.-(.AP)AP}dm(p) =401I(A,S)() **Matrice d'inertie I(A,S) 21 2 ٍ| | 21 2 2 (A,S)()=I(A,S)V 2 12 1 (A,S)()=4s1AP(قAP)dm(p) 2 12 1 =-4s1AP(AP)dm(p) AP L(P) APٍL(P)U AP[AP]=L(P)L(P)U =L(P)U |X | |Y-Z AP=|Y |=|Z-X |Z | |X-Y 2 1 2 |0 -Z Y| | =|Z 0 -X| | |-Y X 0| | 21 2 2 2 1L(P) 2 |-Z-Y XY XZ| L(P)=| XY -Z-Y YZ| | XZ YZ -X-Y| 21 2 2 (A,S)()=-4s1L(P)Udm(p) ={-4s1L(P)dm(p)}U I(A,S)=-4s1L(P)dm(p) 21 21 |Z+Y -XY -XZ| =|| -XY Z+Y -YZ| | -XZ -YZ X+Y| 3s21 2 2 |Y+Zdm(p) -XYdm(p) -XZdm(p) | =|-XYdm(p) Z+Xdm(p) -YZdm(p) | |-XZdm(p) -YZdm(p) X+Ydm(p)| 21 21(E) **Moment d'inertie 1 droite (D)=(A,) ٠=1 I(S/D)=4s1d(P,D)dm(p) AP٠ d(P,D)==AP٠ ٠ d(P,D)=(AP).(AP) =(قAP).(قAP) =.[AP(قAP)] I(S/D)=.4s1AP(قAP)dm(p) 21 =.(A,S)()=3t1UI(A,S)U **Moment d'inertie A I(S/A)=4s1APdm(p) =4s1(X+Y+Z)dm(p) =tr(I(A,S) trace:somme d lments de la diagonale **Moment d'inertie (Q)=(A,) ݠ=1 I(S/Q)=4s1d(P,Q)dm(p) d(P,Q)=PP411 =AP-PP421 =d(A,P)-d(P,D) I(S/Q)=4s1d(A,P)dm(p)-4s1d(P,D)dm(p) =I(S/A)-I(S/D) =tr(I(A,S)-3t1NI(A,S)N *Tridre principal d'inertie Rappel: I(A,S) est symtrique diagonal Valeurs propres0 det[I(A,S)-I]=0 4i13+ 4i1vecteurs propres 4i 4i1 base forme d vect propres est orthogonale (3t1P=P3-11:orthogonale) P:matrice de passage Tridre principal d'inertie en A de (S)= 413*1 423*1 433* 1 |A, , , | 413*1 423*1 433*1 tridre orthonorm direct d'origine O tridre central d'inertie en G de (S)= (G,E411,E421,E431) tridre central principal d'inertie e, G de (S) 413* 1423* 1433* =(G,,,) 413*1 423*1 433*1 4i3*1=vect propres de I(G,S). *Th de Huygens gnralis I(S/D)=I(S/D411)+d(G,D) 2 12 1 (A/s)()=4s1AP(قAP)dm(p) =4s1[AG+GP][ق(AG+GP)]dm(p) =4s1AG(قAG)dm(p)+4s1AG(قGP)dm(p) +4s1GP(قAG)dm(p)+4s1GP(قGP)dm(p) 4s1AG(قAG)dm(p)=AG(قAG)4s1dm(p) =mAG(قAG) 4s1AG(قGP)dm(p)=AG(ق4s1GPdm(p))=0 4s1GP(قAG)dm(p)=4s1GPdm(p)(قAG)=0 21 4s1GP(قGP)dm(p)=(G,S)() 2 12 1 2 (A/S)()=mAG(قAG)+(G/S)() 21 2 |0 -Z4G1 Y4G1| AG L(G)=|Z4G1 0 X4G1| |-Y4G1 -X4G1 0| 21 2 AG=X4G1E411+Y4G1E421+Z4G1E43 AG(AG)L(G)U 21 2 |-Y4G1-Z4G1 X4G1Y4G 1 X4G1Z4G1| L(G)=| X4G1Y4G1 -X4G1-Z4G 1 Y4G1Z4G1| | X4G1Z4G1 Y4G1Z4G1 -X4G1-Y4G1| 4 24 2 AG(قAG)=-L(G)=[AG] th de Huygens: 2 (A/S)=(G/S)+m[AG] I(B,S)=I(G,S)+m[BG] BG=AG-AB=(X4G1-X4B1)E411+(Y4G1-Y4B1)E42 +(Z4G1-Z4B1)E43 I(A,S)=I(B,S)+m{[AG]-[BG]} *Rayon de girat Soit I(S/D) le moment d'inertie de S la droite D, on appelle rayon de girat de S D la scalaire rel 0 dfini par: |I(S/D) p(D)=| m *Cas d'1 chgmt de base ds (E)=(A,E411,E421,E431) 2 |I 0 0| I(O,S)=|0 I 0| |0 0 K| 2 1(E) ()=(411,421,431) on pose(411,E411)= rotat autour de E43 21 2 |I 0 0| |I 0 0| I(O,S)=|0 I 0| =|0 I 0| |0 0 K| |0 0 K| 21 21(E)21 21(U) S est 1 solide de rvolut d'axe (A,E431) 411=cosE411+sinE42 421=-sinE411+cosE42 Rappel:calcul de l'aire d'une port de surface x(u,v) df:M(S) OMy(u,v) z(u,v) (u,v)(D) l'aire de la port de surface (S) est donne par: OM OM A=|| ɂɠdudv 4D1 u v 1 (S) est incluse ds 1 plan de rfrence (z=0) |x M(S) OM|y (x,y)(D) |0 OM |1 OM |0 =|0 =|1 x |0 y |0 OM OM |0 ɂ=|0 x y |1 OM OM ɂɠdxdy=dxdy x y A=4D1dxdy 2 Si (D) est quarable simple 3b13 423(x) A=|(| dy)dx 4a13 413(x) 3b A=|[ 421(x)- 411(x)]dx 4a Si (D) est limite / () dfinie paramtriquem3t A=4D1dxdy=41xdy-ydx x(u) P() OP y(u) 3u411 dy dx A=| |x(u) -y(u)|du 3u401 du du Si (D) est limit par () dfinie en polaire 341 A=| ()d 340 P() OP=()() 2 (S) n'est pas situ ds 1 plan de ref OM OM A=|| ɂɠdudv 4D1 u v Si (D) est 1 quarable simple 3b13 423(u)1OM OM A=|(| ɂɠdv)du 4a13 413(u)1 u v Si (D) n'est pas un quarable simple, on peut faire 1 chgm3t1 de variable. u=f(,) (,)(D411) v=g(,) OM OM h(u,v)=ɂɠ u v A=4D1h(u,v)dudv dudv=|J|dd J=dterminant de la matrice Jacobienne. |f f| | | | | J=| | |g g| | | | | +1 M