HPHP48-E-@,*p2 2 1 BThormes de 2B 2 B 1convergence B 2 2 *UBConvergence monotone **UPour les suites (f)4n141 suite 2V1V de f30 VdefV Vcont par morceaux et VsommablesV sur I On suppose que f Vconverge simplementV sur I vers une f301 f Vcont Vpar morceaux Alors la limite f est sommable sur I ssi la suite d'intgrales: 4I(1f4n1) est VmajoreV, et on a alors: | f=sup| f4n1=lim| f4n1 4I 3n1314I 3n14I !C'est la suite (f)4n1 qui est 21, et non les fonctions f4n **UPour les sries Soit (f)4n141 une suite de f301 VpositivesV df, Vcont par morceauxV et VsommablesV sur I On suppose que la srie f4n1 Vconverge VsimplementV sur I vers une fonction S Vcont Vpar morceauxV sur I Alors la limite S est VsommableV sur I ssi la srie des intgrales: (f4n1) est Vconvergente et on a alors: 4+ + 2 1 | S=| 2 1fn=2 1|| f4n1| 4I1 4I2 14I 1 3n=0 n=0 *UBIntgration de la UBsomme d'une srie Soit (f)4n141 une suite de f301 ou  dfinies Vcont par morceauxV et VsommablesV sur I. On suppose que la srie f4n1 Vconverge VsimplementV sur I vers une fonction S Vcont Vpar morceauxV sur I On suppose de plus que la srie |f4n1| VconvergeV. Alors la limite S est V/sommableV/ sur I et on a de plus: 4+ + 2 1 | S=| 2 1fn=2 1|| f4n1| 4I1 4I2 14I 1 3n=0 n=0 ainsi que: 4+ + |2 1|2 1 ||S|=| |2 1fn|2 1||f4n1| 4I1 4I1|2 1|2 14I 3n=0 n=0 *UBConvergence domine Soit (f)4n141 une suite de f301 ou  dfinies Vcont par morceauxV sur I. On suppose que (f)4n14 Vconverge simplementV sur I vers une f301 f Vcont Vpar morceauxV sur I. On suppose de plus qu'il existe une f301 positive, Vcont par VmorceauxV et Vsommable sur I telle que: n, xI, 0|f4n1(x)| (x) Alors: ֥n, f4n1 est sommable la limite f est sommable la suite f est conv et on a: | f=lim| f4n 4I 3n14I +1 M