HPHP48-E�-@§,*0ø
V                      

V     Oscillations     

V     électriques      

V   circuits LC, RLC   

V                      


*
VOscill libres:

**
UExpérience:




soit R=r+r', avec r la
résistance de bobine
on donne à r' petite
valeur pour réduire R
c'est la résistance du
potentiomètre

_ on charge le conden
en plaçant le commutat
en position 1
donc u
4AM
1=+E

_on met la position 2
on constate que u
4AM
est tantôt + tantôt -
bien que le cond était
chargé sous une U +
de même u
4BM
1 alterne de
signe

ËÌ un circuit RLC est
le siège d'oscill éléc
dont la fréq n'est pas
imosée par le gén ext
c'est un oscill éléctr
siège d'oscill libres

comme en mécanique les
oscill étant amorties
le système n'évolue
pas à énergie cste son
élergie 
2“ ,
1effet Joule

les oscill du graph
d'amortisses, donc de
+ en + petites


**
Uinfluance de R:

prenons des valeurs de
r' de + en + grandes:

_pour r'<R
4C
1 les oscill
ont pseudo-période=cst
mais l'amplitude 
2“
1 au
cours du temps
 ËÌ régime 
    pseudo-périodique

_pour r'>R
4C
1 il n'y a
plus d'oscill, U tend
vers 0
 ËÌ régime apériodique
    ou sous-critique

_pour r'ÇR
4C
1 la tension
s'annule rapidement,
 ËÌ régime critique

R
4C
1=résistance critique

ËÌ la R est la cause
de l'amortissement des
oscillations


**
Uinfluance de L et C:

la pseudo-période d'un
circuit oscillant peu
amorti dépend de L et
C, paramètres propres
du circuit


*
VCircuit LC:

circuit LC idéal : R=0
i et q (cond) varient
sinusoïdalement


**
Uéquation du circuit:

loi d'additivité des U
 u
4C
1 + u
4L
1 = 0

      q     di
donc: É + L*ÉÉ = 0
      C     dt

      dq .    di 
4"
or, i=ÉÉ=q et ÉÉ=q
      dt      dt
           q     
4"
on a donc: É + L*q = 0
           C
    d²q   1
 ËÌ ÉÉÉ + ÉÉq =0
    dt²   LC

on pose š
40
1²=1/LC

    
4"
 ËÌ q + š
40
1*q = 0


solutions:

 ËÌ q=q
40
1*cos(š
40
1t+)

: phase à l'origine
   des dates


**
Upériode propre:

circuit est un oscill
harmonique � T
40
1 ne
dépend pas des condit
initiales
            
2º»»¼
 ËÌ T
40
1 = 2‡*õLC

unités:
T
40
1 : s
C  : F
L  : H

donc: f
40
1=1/(2‡/LC)

dans un circuit peu
amorti, pseudo-période
T Ç T
40
1 ,période propre


**
Uaspect énergétique:

le circuit ne comporte
pas de résistance donc
son énergie est cste:
le circuit LC est le
siège d'oscill libres
non amorties
l'amplitude est oscill
est cste, E
40
1 :E init

             q²   Li²
ËÌ E
40
1=E
4e
1+E
4m
1= ÉÉ + ÉÉÉ
             2C    2

à tout instant

l'E électro-statique
du cond se transforme
en énergie mécanique
de la bobine et 
réciproquement


*
VCircuit RLC:


**
Uéquation du circuit:

loi des U: u
4C
1+u
4R
1+u
4L
1=0

donc:
  q          di
  É + Ri + L*ÉÉ = 0
  C          dt


orientation du circuit
    .    di 
4"
� i=q et ÉÉ=q
         dt

alors,
   
3"     
1.   1
 L*q + R*q + É*q = 0
             C
  d²q   R dq   1
  ÉÉÉ + É*ÉÉ + ÉÉq=0
  dt²   L dt   LC


on pose: š
40
1²=1/LC

    
4"   
1R.
 ËÌ q + Éq + š
40
1²*q = 0
        L

solutions:
elles dépendent des
conditions initiales


**
Uaspect énergétique:

le circuit comportant
une résistance donc
son énergie diminue
par effet Joule:
le circuit RLC est le
siège d'oscill libres
amorties 
(E
4em
1=E emmagasinée)

      q²   L*i²
 E
4em
1= ÉÉ + ÉÉÉÉ < E
40
      2C    2
             .
      q²   L*q²
    = ÉÉ + ÉÉÉÉ
      2C    2

à tout instant


au cours du temps:

dE
4em   
11   .     . 
4"
ÉÉÉÉ = É*q*q + L*q*q
 dt    C
       .      
4"
     = q * (L*q + q/C)
      
4"          
1.
or, L*q+q/C = -R*q

dE
4em
1      .
ÉÉÉÉ = -R*q² = -R*i²
 dt

la puissance reçue par
le circuit est - le
circuit cède donc de
l'E sous forme de
puissance dissipée par
effet Joule
  déf : P
4J
1=(r+r')*i²



*
VOscill entretenues:

un montage avec un AO
dit : "à R négative"
permet d'initer puis
d'entretenir les oscil
d'un dipôle oscillant,
en conservant la
période propre de ce
dipôle




**
Ueq diff de la charge

loi d'additivité des T
aux bornes de RLC :
 v
4S
1-v
4A
1 = u
4SA
1 = u
4C
1 - u
4L

or u
4C
1=q/C 
et u
4L
1=L*(di/dt)

le diplôle S-A impose
une ddp u
4AS
1=-R
41
1*i
ce dipôle est ÍÌ à un
générateur de tension
c'est une R négative

on donc :
 q     di
 É + L*ÉÉ + ri = R
41
1*i
 C     dt
                 .
or i = + dq/dt = q
orientation du circuit

donc :
     
4"
1        .  q
   L*q+(r-R
41
1)*q+ É = 0
                 C
    
4" 
1   .
 ËÌ q + Aq + š
40
1²q = 0

avec:
A = (r-R
41
1)/L
 terme d'amortissement
   
š
40
1² = 1/LC



**
Uaspect énergétique:

      q²   L*i²
 E
4em
1= ÉÉ + ÉÉÉÉ < E
40
      2C    2
             .
      q²   L*q²
    = ÉÉ + ÉÉÉÉ
      2C    2

à tout instant


au cours du temps:

dE
4em   
11   .     . 
4"
ÉÉÉÉ = É*q*q + L*q*q
 dt    C
       .      
4"
     = q * (L*q + q/C)
      
4"              
1.
or, L*q+q/C =-(r-R
41
1)*q

dE
4em
1           .
ÉÉÉÉ = -(r-R
41
1)*q²
 dt
     = -(r-R
41
1)*i²

selon le signe entre
la parenthèse, cette
puissance sera réçue
ou dissipée par le
circuit


**
Uentretient des oscil

                dE
4M
si R
41
1 Ç r alors ÉÉÉ =0
                dt

et donc : E
4M
1 = cste

et la puissance perdue
par effet Joule (ri²)
est prèsque compensée
par la puiss fournie
par la "R négative"
(R
41
1i²)


**
Unaissance des oscill

condensateur déchargé
    
4" 
1   .
 ËÌ q + Aq + š
40
1²q = 0

avec:
š
40
1² = 1/LC
A = (r-R
41
1)/L
 terme d'amortissement

l'agitation thermique
des e
3-
1 ds les armature
suffit à créer une
dissrymétrie électriq
cette petite charge
amorce les oscill
mais il faut que :
 dE
4em
 ÉÉÉÉ > 0
  dt

 -(r-R
41
1)i² > 0

donc que R
41
1 > r
      et A < 0

ËÌ le montage permet
une réaction positive

l'amplitude des oscill
augmente (i(t) 
2’
1)
 � phase transitoire


†limitation de l'
2’
1:

l'amplitude du courant
ne peut 
2’
1 indéfiniment
quand elle dépasse une
certaine valeur, l'AO
atteint la saturation
de tension de sortie
et le dipôle qui était
la R négative ne joue
plus ce rôle de R -

eq diff:
 u
4L
1+u
4C
1 = -u
4BA(sat)

4       
1=
4  
1u
4AB(sat)
 
4"  
1. q
Lq+rq+É = -(Ri+U
4sat�
1)
      C
 
4"  
1. q
Lq+rq+É = -(Ri-U
4sat�
1)
      C

donc: 
 
4"      
1.   1
Lq+(r+R)q + Éq = ±U
4sat
            C

   
4" 
1Àr+RÁ  1
ËÌLq+|ÉÉÉ|q+ÉÉq= ±U
4sat
     Â L Ã  LC

avec A=(r+R)/L >0

_qd i=i
4max
 i continue à 
2’
1 mais
 m'amortissment + est
 tellement grand que
 i 
2“
1 rapidment
 � régime linéaire

_qd i=-i
4max
 même chose

� on peut considérer
que i oscille entre
i
4max
1 et -i
4max
périodiquement l'AO
atteint la sat � ou �
et repasse ne régime
linéaire avec la freq
propre du diôple LC
             
2º»»¼
 ËÌ f
40
1 = 1/2‡õLC

donc, pour que les
oscill soient stables
il y a nécessité d'une
non linéarité du
dispositif, A doit
varier au cours du tps
(+ - + - + -)

 ËÌ ocsillations non 
    sinusoïdales


**
Uéq de Van der Pol:

 
4"   
1À   z²Á .
 z+Ò*|-1+ÉÉ|*z+š
40
1²*z=0
        a²Ã

Ò et a² cstes > 0

_si |z|<a � A<0
 l'amplitude des oscil
 
2’
_si |z|>a � A>0
 les oscillations
 se stabilisent


*
VEffet Larsen:

HP devant un micro
le micro capte un son
parasite de très
faible amplitude et
fournit ainsi une U=e
à l'amplificateur
ce dernier multiplie
cette U pas un facteur
et le HP émet ce son
et ainsi de suite
la limite est la satur
de l'amplificateur


dans ce montage, quand
il y a effet Larsen,
une partie du signal
sortie du HP est
réinjéctée à l'entrée
de la chaine pas le
micro mettant le
circuit en auto-oscill

 � réaction positive



*
VOscill forcées:


**
URLC / U sinusoïdale:

†éxperience:



on branche en série un
cond ohmique de R=r',
un cond de capa=C, une
bobine d'inductance=L
et de R=r
aux bornes du circuit
un GBF impose une U
sinusoïdale dont la
freq f réglable est a
priori ‹ de la freq
propre f
40
1=1/2‡ƒ(LC)
la R totale est R=r+r'

l'oscill visualise:
voie 1 : u
4GBF
1=u
4AM
voie 2 : u
4R
1=u
4BM

comme u
4R
1=r'*i, nous
observons sur la voie2
un signal proportio à
l'intensité du courant
dans le circuit (i)

†observations:

pour f quelconque du
GBF, ia apparait deux
sinusoïdes de même T
d'amplitudes ‹ et
décalées l'une par
rapport à l'autre
(courbe de u
4GBF 
1> u
4R
1 )
sur la voie2 la courbe
étant uen sinusoïde
non amorti, le courant
dans le cirsuit est
sinusoïdal: le GBF
entretient les oscill

pour toute f du GBF,
les deux sinusoïdes
ont oujours la même T
donc la même freq f
cette freq f est ‹ de
f
40
1 la freq propre du
dipôle LC: le circuit
est le siège d'oscill
forcées: il est en
régime forcé

graph: u
4GBF 
1passe par
un maximum avant u
4R
dc u
4GBF 
1est en avance
de phase sur u
4R

l'écart temporel: ™
est la longueur entre
les deux sommets des
courbes

on fait ™/T = a/b
avec a les divisions
de ™ et b les div de T
on trouve ™ = x T


†régime transitoire:

le régime sinusoïdal
(forcé) ne s'installe
qu'après un régime
transitoire (quelques
millièmes de s)
pendant ce temps, la
variation de i(t) est
désordonnée


†résonance d'intensité

on fait varier la freq
f du générateur tout
en maintenant cste
l'amplitude u
4GBF
1 du
GBF

_lorsque f croit:
 l'amplitude de la
 sinusoïde visualisant
 i passe pas un max
 puis décroit le max
 étant atteint lorsque
 la freq f est = à la
 freq propre 
          f
40
1=1/2‡ƒ(LC)

 � il y a résonance
   d'intensité

_le décalage entre les
 deux sinusoïdes varie
 il est nul à la réson
 les deux signaux sont
 alors en phase

 � à la résonance d'i
   la U imposée par
   le gén et l'i du
   courant dans RLC
   sont en phase


**
UEtude résonance d'i:

†courbe:

abscisse:freq f imosée
par le générateur
ordonnée:amplitude de
i
4m 
1(du gén), avec la
valeur efficace
             I=i
4m
1/ƒ2

la courbe a l'allure
de la courbe de Gausse
(probabilités) sont
max est au 'centre' de
la courbe, elle est
initallement à 0 mais
ne tend pas vers 0

pour tout R: f=f
40

 ( f
40
1 = 1/2‡ƒ(LC) )

ce n'était pas le cas
pour les oscill méca
forcées

plus R est faible,
plus i
4m(max)
1 est grand
(de même pour I)

ËÌ à la résonance d'i:
   f=f
40
   i
4m(max)
1=u
4m
1/R
   I
4max
1=U/R


†bande passante à 3dB:

elle correspond aux
freq pour lesquelles
les amplitudes sont >
à i
4m(max)
1 / ƒ2

les freq f
41
1 et f
42
1 ,
limites de la bande
passante à 3dB sont tq

               i
4m(max)
 i
4m
1(f
41
1)=i
4m
1(f
42
1)=ÉÉÉÉÉÉÉ
                 ƒ2
                I
4max
 I(f
41
1) =I(f
42
1) = ÉÉÉÉ
                 ƒ2

la largeur de la bande
passante à 3dB est = à

 ›f=|f
42
1-f
41
1|


†facteur qualité:

 Q = f
40
1 / ›f
 Q = š
40
1 / ›š

(›š:bande passante)
(š
40
1:pulsation propre)

Q est facteur qualité
du circuit
il ne dépend pas de
l'amplitude de la U
imposée par le générat
� caractéristique du
  circuit

_lorsque Q > 10 :
la résonance est aigue
l'amplitude de l'i ne
prend des val grandes
que dans un domaine
étroit de la frequence

 �circuit séléctif

_lorsque Q Ç ou < 1 :
la courbe est aplatie,
la résonance est floue
circuit ne privilégie
aucune freq

 �circuit non séléctif

ËÌ Q=f
40
1/›f caractérise
   l'acuité de réson


†dB (décibels):

les dB corréspondent à
échelle logarithmique
et permettent de mesur
le rapport de deux
grandeurs de même
nature. On peut ainsi
exprimer une i ou U en
dB, une fois choisie
une i ou U de réf,
I(f
41
1)   1
ÉÉÉÉÉ = ÉÉ avec log :
I(f
40
1)   ƒ2

      I(f
41
1)         1
20 logÉÉÉÉÉ = 20log ÉÉ 
      I(f
40
1)         ƒ2

            = -3dB


†surtention:

ds un circuit séléctif
mesurons le U aux
bornes du condensateur

lors d'une réson très
aigue, l'amplitude de
la tension aux bornes
du cond peut être tres
grande � surtension

elle peut atteindre
une centaine de volts
et peut provoques le
claquage du cond ou
des décharges entre
les spires d'1 bobine

 ËÌ à la résonance d'i
 l'amplitude u
4Cm
1 de la
 U aux bornes du cond
 est égale à:

  u
4Cm 
1= Q * u
4m


†impédence du circuit:

               u
4m
par déf :  Z = ÉÉ
               i
4m

on peut aussi exprimer
Z en fct de la tension
efficace U=u
4m
1/ƒ2 et de
l'i efficace I=i
4m
1/ƒ2
(à l'aide multimètre)

        U
 ËÌ Z = É
        I

unités:
Z : � (ohm)
U : V
I : A

l'impédance Z dépend
de f et de R, L et C

graph: Z ordonnée et
       f abscisse
forme de v accentué à
droite

l'impédance passe par
un minimum pour la
freq de résonance:
           U
 Z(f
40
1) = ÉÉÉÉÉ = R
         I(f
40
1)

ËÌ l'impédence d'un
  circuit est toujours
  > ou égale à R total
  du circuit
  Z=R à la résonance


**
UEchanges d'E:

puissance instantannée
délivrée par le gén:
 P
41
1 = u(t) * i(t)

puissance instantannée
consommée dans la R du
circuit:
 P
42
1 = R * i(t)²

notons <P
4x
1> val moy de
P
4x
1 :

_f>f
40
1 :P
41
1 peut être <0
       P
42 
1toujours >0
       mais <P
41
1>=<P
42
1>
_f=f
40
1 :les 2 courbes
       sont confondues
       P
41
1=P
42
_f<f
40
1 :la P dissipée
       dans la réson
       reste faible
       mais <P
41
1>=<P
42
1>

A la réson d'i (f=f
40
1)
P
41
1 et P
42 
1> 0 sont =
le gén compense à tout
instant les pertes pas
effet Joule dans la R

on remarque que l'E
4max
emmagasinnée dans le
cond: 
E
4em
1 = ½*C*(u
4Cm
1)²
peut être très grande
à la réson compte tenu
phénomène surtension

de même pour l'E
4max
1 de
la bobine : 
E
4m
1 = ½*L*(i
4m
1)²


pour f<f
40 
1et f>f
40
1, la
puiss P
42
1 est en génér
‹ de P
41
1. la puiss P
42
dissipée dans la R est
toujours >0. mais, P
41
délivrée par le gén
est soit >0 soit <0

pour P
41
1<0 le générat
reçoit de E du circuit
provenant soit de la R
soit de la bobine

ËÌ en moy <P
41
1> fournie
par le gén est tjrs =
à <P
42
1> dissipée dans
la R (vers l'environn)


**
URLC / U non ~:

†expérience:

même que pour tenion
périodique ~ (plus �)
mais le GBF délivre
une tension périodique
en crénaux de freq f
 f
40
1 = 1 / 2‡ƒ(LC)


_R=r+r' faible:

le facteur qualité Q
est grand, le circuit
est séléctif
réglons la freq du GBF
à f
41
1=f
40
1/2 , on observe
un signal quasi-~
de freq 2f
41
1=f
40
1 aux
bornes du conducteur
ohmique
(on puet avoir k au
lieu de 2)

_R=r+r' grande:

Q est faible, circuit
oeu séléctif, on a
aux bornes de r' une U
en crénaux déformés de
freq f imposée par GBF


†interprétation:

un signal périodique
de freq f
41
1 peut être
considéré comme la
supérposition de
signaux ~ de freq k*f
41
appelés harmoniques
avec k entier

si on applique f
41
1 à un
circuit séléctif, ce
dernier privilégie
l'harmonique k*f
41
1 : on
obtient alors courant
d'i ~ de freq k*f
41

mais si le circuit
n'est pas séléctif, il
ne privilégie aucune
fréquence



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