HPHP48-E-@§,*62 ÑÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÌÒ
2 Õ1    BEquationsB    2Ö
2 Õ 1BdifférentiellesB 2Ö
2 ÓÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÔ

*UBPremier ordre

 y'+a(t)y=b

**USolution générale

 y(t)=exp(-A(t))

**USolution particulière

†SP évidente
†principe de superposition
†Variation de la cte:
 y(t)=–(t)exp(-A(t))

**Théorème de Cauchy
Soit I un intervalle
de , a,b:IK deux
applications Ucontinues
pour tout (t401,y401)ÒI×K,
le pb de Cauchy
 Ày'(t)+a(t)y(t)=b(t)
 Ây(t401)=y40
possède une solution
unique

**UPlan d'étude
†Résoudre Er sur I\{A411,A421}
Örésolution de Er(0)
Ödét d'une SP
Öconclusion

†raccordements
Öraccord en A41
Öraccord en A42
Öraccord en A411 et A42

**UEq non linéaires
Techniques de base:
†changement de fonction
inconnues: z=y²

†changement de fonction
inconnue classique:
t(x)=y(x)/x

†changement de variable
u=(t), difféomorphisme
de classe C31

**Ued à var séparables
  a(t)+b(y)=y'
ÍÌa(t)dt+b(y)dy=0

†„a(t)dt+„b(y)dy=c
CI: y(t401)=y401,
 ìt a(u)du+ìy b(v)dv=0
 ít40       1íy40

**Ued homogènes
y'=f(y/x), f cont ds I

†t(x)=y(x)/x
avec t nouvelle fonction
inconnue
Ìon résoud sur 3+1 ou 3-

Ìy=tx, y'=t'x+t
Ìy'=f(y/x)
 ÍÌt'x+t=f(t)
 ÍÌxdt/dx=f(t)-t
qui est à variables
séparables

**Ueq de Bernouilli

Ay'+By+Cy3Œ1=0
avec Œ fixé et ‹-1

†z=1/(y3Œ-11)

*UBSecond ordre

x''+a(t)x'+b(t)x=c(t)

**UCauchy-Lipchitz
Õ (t401,x401,x401')ÒK³, il
existe une unique
solution au problème
de Cauchy

**UWronskien

 W(t)=|x411(t)  x421(t) |
      |x411'(t) x421'(t)|

Si 2 appl sont linéairement
dépendantes, alors
W(x411,x421)=0

**URésolution de Er(0)
Il faut chercher des
solutions de la forme
des coefficients
(polynôme,puissance,
exponentielle...)

**UPrincipe de Lagrange
On suppose connue une
sol c411 de Er(0) sur J
tq x411(t)‹0, ÕtÒJ
La méthode de Lagrange
consiste à chercher x42
sous la forme:
  x421(t)=–(t)x411(t)
avec – fonction inconnue
dérivable sur I

**Ueq avec second membre

†coefs constants,
second membre=f(x)

Öf(x)=P(x), polynôme
de degrès n
ÌSP de la forme Q(x)
=poly de deg:
 Ø n si c‹0
 Ø n+1 si c‹0,b‹0
 Ø n+2 si c=b=0

Öf(x)=e3Œx1P(x), ŒÒ et
P de degrès n
ÌSP de la forme e3Œx1Q(x)
avec Q(x) poly de deg:
 ø n si Œ pas sol de l'Ec
 ø n+1 si Œ sol de l'Ec
 ø n+2 si Œsol double de l'Ec

Öf(x)=e3Œx1(x),  f301cont
ÌSP de la forme e3Œx1(x)

Öf(x)=Acos(šx)+Bsin(šx)
ÌSP de la forme:
 Ø Ccos(šx)+Dsin(šx)
si iš non sol de l'Ec
 Ø Excos(šx)+Fxsin(šx)
si iš racine de l'Ec+1 éM Øû±