HPHP48-E-@,**Bsries de Fourier **Upolynome trigo .P: tq x,c4k1 4+n P(x)= c4k1e3ikx 4n3k=-n =Ua401U+(a4k1coskx+b4k1sinkx) 2 3k=1 .a401=2c401,a4k1=c4k1+c4-k b4k1=i(c4k1+c4-k1) .c4k1=(a4k1-ib4k1) c4-k1=(a4k1+ib4k1) .les a4k1,b4k1 sont reel ssi:U c4-k1=c4k **Ufct cont par morceau .(a,b),f:[a,b] est cont par morceau ssi elle est cont en tt pt sauf pour un nbr UfinieU de pts o elle admet une limite droite ou gauche .f: est cont par morceau sur  ssi elle est cont par morceau sur tout int compact de  .E:ens des fct  2 period.cont/morceau .E401:idem mais cont en general,c'est un espace prhilbertien complexe .e4k1: te3ikt (e4k1) est une famille orthonormale de E40 2U =U 1U| f(t)g(t)dt 20 **Ucoefficients .fE,coef de Fourier: n: 2 c4n1(f)=U 1U| f(x)e3-inx1dx 20 n: 2 a4n1(f)=U1U| f(x)cos(nx)dx 0 n3*1: 2 b4n1(f)=U1U| f(x)sin(nx)dx 0 .si a4n1(f),b4n1(f) a4n1(f)=2Re(c4n1(f)) b4n1(f)=-2Im(a4n1(f)) **Uth de Dirichlet .x,on a Sf(x)= 4+ Ua401U+(a4n1cosnx+b4n1sinnx) 2 3n=1 f,2-priodique,C311 par morceaux alors Sf=f3* f3*1(x)=f(x),si f continue en x sinon [f(x3+1)+f(x3-1)] **Uth de convergence f,2-priodique,C301,C31 par morceaux alors sa Sf cv normalt: Sf=f **UParseval f,2-per,C301 par morceaux:les series tg |c4n1(f)|,|a4n1(f)|, |b4n1(f)| cvge et 2 4n=+ U 1U||f(x)|dx=|c4n1(f)| 20 3n=- 4+ =U|a401|U + U|a4n1|+|b4n1|U 4 3n=11 2 **Ufonction T-per f,T-per g(x)=f(T/2*x) f(x)=g(2x/T) U 1UU 2 U2T 2 T .T 4+ U1U||fx|dx=U|a4n1|+|b4n1|U T0 3n=1 2+1 M