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2Õ 1BSéries de FourierB 2Ö
2ÓÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÔ

*UBCoefficients de F

†ÕnÒ,on appelle nième
coeff de F de type Vexp
et on note C4n1(f) le
nombre complexe défini
par:
C4n1(f)=U1 Uì32‡1 f(t)e3-¡nt1dt
      2‡í40

†ÕnÒ,on appelle coef
de F de type VtrigoV et
on note a4n1(f) et b4n1(f)
les nombres complexes
définis par:

ÕnÒª,a4n1=U1Uì32‡1f(t)cos(nt)dt
         ‡í40

4 1a401(f)=C401(f)

ÕnÒ,b4n1=U1Uì32‡1f(t)sin(nt)dt
        ‡í40

**URemarques
†Si f est paire:
 b4n1(f)=0
 a4n1(f)=U2Uì3‡1f(t)cos(nt)dt
       ‡í40

†Si f est impaire:
 a4n1(f)=0
 b4n1(f)=U2Uì3‡1f(t)sin(nt)dt
       ‡í40

†L'application
CM42‡1
 f  C4n1(f)
est une forme linéaire

**ULiens entre a, b, C

 a4n1=C4n1+C4-n
 b4n1=¡(c4n1-C4-n1)

 C4n1=½(a4n1-¡b4n1)
 C4-n1=½(a4n1+¡b4n1)
               ä 
**UCoef de F de f,f,T4a1f
    ä  ääääää
†C4n1(f)=C4-n1(f)
        ä  äääää
donc:a4n1(f)=a4n1(f)
        ä  äääää
     b4n1(f)=b4n1(f)
    
†C4n1(f)=C4-n1(f)
         
donc: a4n1(f)=a4n1(f)
         
      b4n1(f)=-b4n1(f)

†C4n1(T4a1f)=e3-¡nt1C4n1(f)


**UCoeff de F de Df

†C4n1(D3p1f)=(¡n)3p1C4n1(f)

Donc: C4n1(f) = OÀU 1  UÁ
      kÒª  nŸ Â|n|3k1Ã   

*UBSérie de Fourier
Soit fÒCM42‡1,on appelle
série de F de f la
série d'applications
…u4n1(f) où:

 u401(f):
       tC401(f)

et ÕnÒ:
 u401(f):
       tC4n1(f)e3¡nt1+C4-n1(f)e3-¡nt

Pour tout pÒ,la pième
somme partielle de la
série de Fourier est:

S4p1(f):
     4p1         4n=+p
2    ÙÚÛ        ÙÚÛ
  t 2Ü1 u4n1(f)(t)=2Ü 1C4n1(f)e3¡nt
2    ÝÞæ        ÝÞæ
    3n=0        n=-p

*UBThéorème de Parceval

**UDécor
ÕpÒ,4p1=Vect{e4-p1,e4-p+11,,e4p1}
où e4p1=e3¡pt1.
Dim(4p1)=2p+1. 4p
fÒC42‡1, S4p1(f)= … C4n1(f)e4n
             3n=-p
Donc s4n1(f) est la proj
orthogonale de f sur
4p1.

**UPythagore
 f ²4=1 S4p1(f) ²+ f-S4p1(f) ²
 et d(f,4p1)= f-S4p1(f) 42

**UBesselU: S4p1(f) ²‰ f ²
      4p
d'où: … |C4n1(f)|²‰ f ²
     3n=-p

**UThéorème de Parceval

Pour tout fÒCM42‡1,
 f-S4p1(f) 4²1ÉÉÉ0
           3pŸ
On dit que S4p1 converge
en moyenne quadratique
vers f.

**UFormule de Parceval
†Soit fÒCM42‡1, la série
…(|C4-n1(f)|²+|C4n1(f)|²)
converge et:
          4p
|C401(f)|²+ …(|C4-n1(f)|²+|C4n1(f)|²)= f ²
         3n=0

3 1=U1 Uì32‡1|f(t)|²dt
  2‡í40

†Soit f()Ò,
La série …(a²4n1+b²4n1)
converge et:
      4+Ÿ
a²401+½ … (a²4n1+b²4n1)=U1 Uì3‡1|f(t)|²
     3n=11          2‡í-4‡


*UBThéorème de Dirichlet

**UConvergence

Soit f:,2‡ périodique
et de classe C311 cont
par morceaux sur .
La série de Fourier
S4p1(f) Vconverge normalement
(donc uniformément,donc
simplement) vers f sur


**UThéorème

Soit f:,2‡ périodique
de classe C311 cont par
morceaux sur .
Alors la série de Fourier
de f Vconverge simplement
vers la régularisée de
f def par:
(t)=½(f(t3+1)+f(t3-1))

Ou encore:
   4+Ÿ
C401+ …[C4n1(f)(t)e3¡nt+1C4-n1(f)(t)e-3¡nt1]
   3n=1
   =½(f(t3+1)+f(t3-1))

Ou encore:
   4+Ÿ
a401+ … (a4n1cos(nt)+b4n1sin(nt))
   3n=1
   =½(f(t3+1)+f(t3-1))

En particulier,en tout
point t où f est cont,
la somme de la série
de F de f en t est égale
à f(t).+1 éM Øû±