HPHP48-E-@§,*0… OSCILLATEURS COUPLES *Oscillat° libres on considére une tige rigide A411A421 horizontal sur laquelle sont enfilées 2 perles P41 et P421 identiques, de masse m. A411 et A421 st les pts de fixation de la tige à 2 batits fixes. P41 1(resp P421) est relié à A411 (resp A421) par 1 ressort K, longueur à vide l4o1. P411 et P421 st reliées / 1 ressort K', , longueur à vide l4o -hypothéses de travail à l'équilibre, les ressorts 1, K',2 ont des longueurs , respectives l4e11, l4e1, l4e2 On suppose qu'à l'équilibre les 3 ressorts st étirés ( choix de la distance A411A421). Les Posit° de P411 et P42 à l'équilibre X4e1 1et X4e21. On négilige les frottements de contact et proportionnels à la vitesse A l'équilibre P411 est immobile (Õt) a411=0 ma411=-k(l4e11-l401)+k'(l'-l') 3e 0 Pour P42 1a421=0 ma421=-k'(l'-l')+k(l4e21-l40) 4 3e 0 l4e11+l'+l4e21=A411A42 3e **mvmt de P41 1et P42 on suppose P411 et P421 en mvmt à l'inst, de posit° X41 1et X421, on repére les posit° ò o posit° d'équilibre. On pose: X411=X4e11+41 14:1écart ò X421=X4e21+42 1o posit° d'éq On suppose implicitem3t 411 et 421 >0 FRD pr la bille 1: .. .. a411=x411=41 1.. -k(l411-l401)+k'(l'-l')=m41 30 l411=l4e11+411 l'=l'+421-41 ..4 3e (1)m411=-k411+k'(421-411)-k(l4e11-l401)+k'(l'-l') 3e 0 3 2ÃÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÉÁÁÁÁÁÁÁÅ 2 1équilibre de P411ËÌ0 de même pour la bille 2 .. (2)m421=-k'(421-411)-k421-k'(l'-l')+k(l4e21-l401) 3e 0 3 2ÃÁÁÁÁÁÁÁÉÁÁÁÁÁÁÁÁÅ équilibre de P421ËÌ0 on a 2éq couplées en 411 et 42 on déf: ˜=411+42 ’=411-42 (1)+(2)= .. .. m(411+421)=-k(411+421) .. .. ËÌm˜ =-k˜ ˜ =-š'²˜ ˜=A'cos(š't-') A' et ':cte d'intégrat° (1)-(2)= .. .. m(411-421)=-k(411-421)-2k'(411-421) .. m’ =-(k+2k')’ on pose: k+2k' š"²=ÉÉÉÉÉ m .. ’ =-š"²’ËÌ’=A"cos(š"t-") A' A" 411=É cos(š't-')+É cos(š"t-") 2 2 A' A" 421=É cos(š't-')-É cos(š"t-") 2 2 rmq: 411 et 421 st d combi linéaires de 2 termes sinusoïdaux ( modes propres du sys oscillant) de pulsat° ‹(š',š") rmq: Déterminat° de A',', A" et ": on tient compte d condit° ini à savoir à t=0 . 411(0) 411(0) . 421(0) 421(0) *Modes propres En fait, ce qui détermine si le sys oscille avec la pulsat° š' (en cos(š't-')) ou en š"(cos(š"t-") st d condit° ini particuliéres. 2 K: 1°K: Les conditions ini st tq A"=0 Pr tt t on a 411(t)=421(t) même déplacem3t1 d 2 billes ò à leur position d'éq. 2°K:les cond ini st tq A'=0 Pr tt t on a 411(t)=-421(t) les oscilla st en opposition de phase š' et š" se nomment pulsat° propres et c 2 situat° particulières st les modes propres du sys oscillant. Ds le cas de cond ini, la solut° est combinaison linéaire d 2 modes propres. *Déf du mode propre: le mode propre est 1 solut° d éq diff tq ts les oscillateurs vibrent avec la même pulsat°, si on n'a pas de frottem3t1, les déplacem3t1 du même mode propre st soit en phase, soit en opposit° de phase. Rmq:Pr chq mode propre le rapport des ampli de 411 et 421 est fixe et dépendant d caractéristiques d oscillateurs. Rmq:il y a autant de mode propre que d'oscillateurs couplés. Rmq: . P411m411 ressort 1Ék411 -Œ411411 frottem3t1 P41 même chose pr P42 .. . (1)É(1') m411411=-k411411+k'(421-411)-Œ41141 .. . (2)É(2') m421421=-k421421-k'(421-411)-Œ42142 On cherche les modes propres en écrivant q: 411=A411e3jšt 421=A421e3jšt A411 et A421: ampli  ä ä A411=a411e3j ¹ 1A421=a421e3j ² Rmq: Ds la réalité, È frottem3t si frottem3t1: -faibles: le sys lancé à t=0 va osciller spontanément et s'amortir (régime transitoire). -forts: on peut ne pas avoir d'oscillat°. *Oscillat° forcées on garde le même dispo k P41 1k' P42 1k (m) (m) on a repéré chs masse ò à sa posit° d'éq / les déplacem3t1 41 142 Rappel d 2 éq diff portant sur P411 et P42 .. (1) m411=-k411+k'(421-411) .. (2) m421=-k421-k'(421-411) on va ajouter une force å F411=F4m11cost Ù4x1 appliquée à P41 .. (1) m411+(k+k')411-k'421=F4m11cost .. (2) -k'411+m421+(k+k')421=0 Rmq: ds la réalité, il È tjs d termes de frottem3t1 qui feront intervenir d termes supplémentaires en . . 411 et 42 1ds les éq diff. La résolut° compléte comporte 1 partie transitoire qui s'amortit ds le tps à cause d frottem3t1 et 1 partie qui correspond à la solut° particuliére d éq diff qui se maintiendra ds le tps et constitue dc le régime permanent d'oscillat°. Pr 1 force en cost, on cherche d solut° particulières du type 411=411e3jt 1421=421e3jt ðð3 1ðð ðð avec 411=|411|e3j ¹ ðð ðð ampli  de 41 1(idem pr 421) on éleve les 2 éq o niv  et il vient après simplificat° / e3jt À(-m²+k+k')411-k'421=F4m1 Ä ðð ðð Â-k'411+(-m²+k+k')421=0 ðð ðð ž=(m²+k+k')²-k'² =(-m²+k)(-m²+k+2k') F4m11(-m²+k+k') 411=ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ ž k'F4m1 421=ÉÉÉÉÉ ž on peut annuler ž pr k ²=É=š'² ËÌ=š' m et k+2k' ²=ÉÉÉÉÉ=š"² ËÌ=š" m rmq:421 ne s'annule pas, 411 s'annule pr k+k' š"'²=ÉÉÉ ni š', ni š" m š'<š"'<š" Rmq: s'il È d frottem3t dc d termes en -Œ41141 et -Œ421421 c termes interviendront aussi ds les calculs de 411 et 42 1dc on ne ðð4 1ðð pourra avoir d résonances à ampli Ÿ. *Battements (même dispo) on a obtenu 2 pulsat° propres k k+2k' š'²=É š"²=ÉÉÉÉÉ m m supposons q k'«k úääääääää úä |kÀ 2k'Á |k À k'Á š"=|-|1+ÉÉÉ| Ç|É |1+É | õm k à õm  k à À k'Á š"Çš'|1+É |  k à k' k' š"-š'Çš'*É É «1 ËÌš"Çš' k k on pose 2š401=š'+š" k' žš=š"-š'Çš401É k ˜=411+421 et ’=411-421A"cos(š"t-") A'cos(š't-') supposons les cond ini suivantes à t=0 |411(0)=a |421(0)=0 |. |. |411(0)=0 |421(0)=0 |˜(0)=a |’(0)=a |. |. |˜(0)=0 |’(0)=0 dc ˜=A'cos(š't-') ˜(0)=A'cos(-') . ˜(t)=-A'š'sin(š't-') . ˜(0)=-A'š'sin(-') =A'š'sin'=0 ËÌ'=0 dc A'=a de même.le calcul avec ’(0) et ’(0) ËÌ"=0 et A"=a ˜+’ a a 411=ÉÉÉ = É cosš't + É cosš"t 2 2 ÀaÁ À(š'+š")tÁ À(š'-š")tÁ =2|É|*cos|ÉÉÉÉÉÉÉÉ|*cos|ÉÉÉÉÉÉÉÉ| Â2à  2 à  2 à Àžš Á =a*cos|ÉÉ *t|*cosš401t Â2 à ˜-’ Àžš Á 421=ÉÉÉ=a*sin|ÉÉ *t|sinš401t 2 Â2 à pr 41 1 et 421, on a le produite d'1 fnct° rapide / 1 fnct° lente en žš ÉÉ *t 2 cosšt :rapide +1 éMØû±